Vận dụng tính chất chia hết để giải Toán

10:01 17/06/2016

Câu hỏi: Chào thầy/cô

Khi cùng con học Toán, thú thực tôi thấy nhiều kiến thức bản thân mình còn cảm thấy khó, đơn cử như việc vận dụng tính chất chia hết để giải Toán. Mong thầy cô cho tôi một vài chỉ dẫn để dễ dàng hơn khi tiếp cận dạng Toán này. (Vũ Nhật Quỳnh, Thái Bình)

Trả lời: Khi giải các bài tập toán liên quan đến chia hết, chúng ta thường dùng dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5 và 9. Tuy nhiên trong thực tế có nhiều bài phải vận dụng một số tính chất chia hết khác để giải. Chúng ta cùng tìm hiểu một số ví dụ sau:

Ví dụ 1: Cho M là một số có 3 chữ số và N là số có 3 chữ số viết theo thứ tự ngược lại của M. Biết M lớn hơn N. Hãy chứng tỏ rằng hiệu của M và N chia hết cho 3.

Phân tích: Hiệu hai số chia hết cho một số nào đó khi số bị trừ và số trừ cùng chia hết cho số đó. Dựa vào tính chất này ta chứng tỏ hiệu chia hết cho một số nào đó bằng cách chứng tỏ số bị trừ và số trừ có cùng số dư khi chia cho số đó.

Giải: Đặt M= abc thì N= cba thì  (a > c > 0; a, b, c là chữ số), khi đó: M- N = abc – cba

 Giả sử  abc chia cho 3 dư r  thì a + b + c chia cho 3 cũng dư r. Do a + b + c = c + b + a nên  chia cho 3 cũng có số dư r. Vậy hiệu M – N chia hết cho 3.

Ví dụ 2: Nếu đem số 31513 và 34369 chia cho số có 3 chữ số thì cả hai phép chia đều có số dư bằng nhau. Hãy tìm số dư của hai phép chia đó.

Phân tích: Nếu hai số chia cho số nào đó có cùng số dư thì hiệu của chúng sẽ chia hết cho số đó. Vì số 31513 và 34369 chia cho số có ba chữ số thì cả hai phép chia đều có số dư bằng nhau nên hiệu của chúng chia hết cho số có 3 chữ số đó. Từ đó ta tìm được số chia để suy ra số dư.

Giải: Gọi số chia của hai số đã cho là abc  (a>0; a, b, c < 10) Vì hai số đã cho chia cho số abc đều có số dư bằng nhau nên (34369 – 31513) chia hết cho abc  hay 2856 chia hết cho abc. Do 2856 = 4 x 714 nên abc = 714 Thực hiện phép tính ta có: 31513 : 714 = 44 (dư 97); 34369 : 714 = 48 (dư 97). Vậy số dư của hai phép chia đó là 97.

Ví dụ 3: Tìm thương và số dư của phép chia sau:  (1 x 2 x 3 x 4 x 5…. x 15 +200) : 182

Phân tích: Nếu trong một tổng nếu có một số hạng chia cho một số nào đó dư r còn các số hạng khác chia hết cho số đó thì số dư của tổng chính là r. Thương của tổng chính là tổng các thương của từng số hạng. Nếu các số chia cho số đó đều có dư thì số dư của tổng chính là tổng số dư của từng số hạng, nếu tổng các số đó nhỏ hơn số chia. Vậy ta xét xem mỗi số hạng của tổng đó chia cho số chia có số dư là bao nhiêu. Từ đó ta tính được thương và số dư của phép chia đó.

Giải: Vì 182 = 2 x 7 x 13  nên số hạng thứ nhất của tổng (1 x 2 x 3 x 4 x 5…. x 15) chia hết cho 182. Vì 200 : 182 = 1 dư 18 nên số hạng thứ hai của tổng chia cho 182 được 1 và dư 18. Vậy số dư trong phép chia đó chính là 18 và thương trong phép chia đó chính là kết quả của phép tính:  1 x 3 x 4 x 5 x 6 x 8 x 9 x 10 x 11 x 12 x 14 x 15 +1

(Hãy tự tìm ra đáp số)

Ví dụ 4: Một người hỏi anh chàng chăn cừu: “Anh có bao nhiêu con cừu?”. Anh chăn cừu trả lời: “Số cừu của tôi nhiều hơn 4000 con nhưng không quá 5000 con. Nếu chia số cừu cho 9 thì dư 3, chia cho 6 cũng dư 3, còn chia cho 25 thì dư 19”. Hỏi anh đó có bao nhiêu con cừu?

Phân tích: Vì số cừu của anh chia cho 9 dư 3 còn chia cho 25 dư 19 mà 3 + 6 = 9 và 19 + 6 = 25 nên nếu thêm 6 con cừu vào số cừu của anh thì số cừu lúc này sẽ chia hết cho 9 và 25. Ta lại có 9 x 25 = 225 nên số cừu đó chia hết cho 225. Từ đó ta tìm các số lớn hơn 4000 + 6 và không vượt quá 5000 + 6 chia hết cho 225 rồi thử thêm điều kiện chia cho 6 dư 3 để tìm được số cừu của anh chăn cừu.

Giải: Vì số cừu của anh chăn cừu chia cho 9 dư 3 và chia cho 25 dư 19 nên nếu thêm 6 con cừu vào số cừu của anh chăn cừu thì số cừu lúc này chia hết cho 9 và 25. Do đó số cừu đó chia hết cho 225 (vì 9 x 25 = 225). Số cừu sau khi thêm 6 con chai cho 6 vẫn dư 3 nên chỉ có 4725 là thỏa mãn đầu bài. Vậy số cừu hiện có của anh là: 4725 – 6 = 4719 (con)

Trên đây là 4 ví dụ tiêu biểu mà khi giải phải vận dụng một số tính chất chia hết. Những tính chất này không có trong chương trình cơ bản của tiểu học. Tuy nhiên ta dễ dàng tìm thấy nó qua các bài toán. Học toán chúng ta cần phải tìm tòi, sáng tạo và vận dụng kiến thức được học một cách linh hoạt mới thấy được vẻ đẹp của toán học phải không các bạn? Hi vọng bài viết này là một kinh nghiệm, qua đó bạn có thể giúp con học tốt môn Toán hơn.

Bạn thấy bài viết hữu ích !